Bertrand Russell es considerado uno de los más grandes filósofos, pero sus trabajos en matemáticas son, si cabe, unas de
las más importantes contribuciones al pensamiento matemático. En 1903 se publicó el libro Los pirncipios de la Matemática, en el que la ''teoría de tipos'', los números como una ''clase de clases'' y l a''
paradoja de Russell'' son los resultados más importantes.
La paradoja de Russell fué el razonamiento que rompió las esperanzas de Russell de fundamentar las matemáticas sobre la lógica. El objeto de sus investigaciones era la teoría de conjuntos, y Russell pensó que todo tipo de conjuntos debe pertenecer a un conjunto, pero el razonamiento de Russell le condujo a una paradoja. Dsecubrió que hay conjuntos que no pueden pertenecer a ningún conjunto probando que la lógica es inconsistente: el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos deben contener a este conjunto y no deben contenerlo al mismo tiempo.
Russell explicó esta paradoja a través de un pequeño cuento: Había una vez un barbero que vivía en un magnífico emirato, pero un día el emir fue informado de que había muy pocos barberos. para resolver este problema el emir declaró: Yo, el emir de..... dispongo que los barberos sólo afeitarán a los hombres qu enos e pueden afeitar pos rí mismos''. En el pequeño poblado vivía solamente ese barbero, y éste fue a visita al emir para contarle su problema: Soy el único barbero en mi pueblo. Si me afeito, entonces me puedo afeitar por mí mismo, de manera que no me puede afeitar el barbero... pero yo soy el barbero. Si yo no me puedo afeitar, entonces lo tiene que hacer el barbero... que soy yo.......Inconsistente....