Función inversa
Definición: se define
que una función
f es una función uno a uno, si y solo si cada elemento del rango de
f está asociado con exactamente a un elemento de su dominio
x. En general, una función
f es uno a uno si cada elemento del recorrido de la función es imagen de un único elemento del dominio.
Es precisamente esta propiedad la que se requiere para que la “regla de inversión” sea una función. Es recomendable antes de tratar de hallar la inversa de una función, determinar si la función dada es uno a uno.
Gráficamente una función es uno a uno si solo si ninguna recta horizontal corta su gráfica mas de una vez.
Definición
Sea f una función uno a uno, con dominio X y recorrido Y. La inversa de f es una función g con dominio Y y recorrido X; para lo cual:
f(g(x)) para cada x en Y
g(f(x)) para cada y en X
Es decir:
f(f -1(x))= x
f -1(f(x)) = x
O sea, a la función inversa de f, se le llama f -1, y se cumple que:
Si f(a)=b -------------------------> f -1(b)=a
Como consecuencia se dan las relaciones siguientes:
(f -1 º f)(x)=x (f º f -1)(x)=x
Método para hallar f -1, para una función uno a uno.
1. Desarrolle la composición de f y f -1, esto es f(f -1(x)).
2. Desarrolle la ecuación f(f -1(x)) = x.
3. Resuelva la ecuación f(f -1(x))= x., despejando f –1(x).