Abundando un poco más sobre mi hallazgo matemático de que la relación del perímetro de cualquier cuadrado a su
diagonal es
la constante 2√2, llegué a la siguiente generalización: para todo polígono regular de
2n caras, donde
n es cualquier número natural (1,2,3,...), existe una relación constante entre su perímetro y su diagonal principal, que nos viene dada por
2n cos(90(n-1)/n)que,
obviamente, tiende a
pi (3.14159...) cundo
n tiende a infinito.
No fue muy difícil llegar a esta conclusión y demostrarla mediante trigonometría elemental. Desgraciadamente también descubrí que Arquímedes se me había adelantado unos cuantos años en la determinación de
pi utilizando, igualmente, fórmulas trigonométricas.
En particular, esta fórmula es cierta para
n=2, es decir, para el
cuadrado, ya que
2x2 cos(90(2-1)/2) = 2√2.
Para
n=1, tendríamos un "polígono" cerrado de dos lados (una recta en realidad) para el que aplica la misma fórmula, ya que la relación es, obviamente
, 2.